题目

如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）.若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上)，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1. （1）求B点坐标； （2）求证：ME是⊙P的切线； （3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，①求△ACQ周长的最小值；②若FQ＝t，S△ACQ＝S，直接写出S与t之间的函数关系式. 　　  答案：解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC＝n ∵正方形CDEF面积为1∴CD＝CF＝1 根据圆和正方形的对称性知OP＝PC＝n ∴BC＝2PC＝2n 而PB＝PE， ∴ 解得n=1   (舍去) ∴BC＝OC＝2  ∴B点坐标为（2，2） （2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0） ∵A，C在抛物线上∴     ∴ ∴抛物线的解析式为 即 ∴抛物线的对称轴为x=3,即EF所在直线 ∵C与G关于直线x=3对称， ∴CF＝FG＝1  ∴FM＝FG＝ 在Rt△PEF与Rt△EMF中 ＝，  ∴=∴△PEF∽△EMF ∴∠EPF＝∠FEM∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90° ∴ME与⊙P相切 （注：其他方法，参照给分） （3）①如图乙，延长AB交抛物线于，连交对称轴x=3于Q，连AQ则有AQ＝Q，△ACQ周长的最小值为（AC+C）的长 ∵A与关于直线x=3对称∴A（0，2），（6，2） ∴C＝（6-2）， 而AC= ∴△ACQ周长的最小值为 ③    当Q点在F点上方时，S＝t+1 ④    当Q点在线段FN上时，S＝1-t ⑤    当Q点在N点下方时，S＝t-1

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