题目

如图，直角三角形ABC，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣2），BC的长为3，反比例函数y=的图象经过点C． （1）求反比例函数与直线AC的解析式； （2）点P是反比例函数图象上的点，若使△OAP的面积恰好等于△ABC的面积，求P点的坐标． 　 答案：【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）求出C的坐标，代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，设直线AC的解析式是y=ax+b，把A、C的坐标代入即可求出直线AC的解析式； （2）设P的坐标是（x，y），根据三角形面积求出x的值，代入反比例函数的解析式，求出y即可． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣2）， ∴AB=4， ∵BC的长是3， ∴C点的坐标是（3，﹣2）， ∵反比例函数y=的图象经过点C， ∴k=3×（﹣2）=﹣6， ∴反比例函数的解析式是y=﹣； 设直线AC的解析式是y=ax+b， 把A（0，2），C（3，﹣2）代入得：， 解得：b=2，k=﹣， 即直线AC的解析式是y=﹣x+2；   （2）设P的坐标是（x，y）， ∵△OAP的面积恰好等于△ABC的面积， ∴×OA•|x|=×3×4， 解得：x=±6， ∵P点在反比例函数y=﹣上， ∴当x=6时，y=﹣1； 当x=﹣6时，y=1； 即P点的坐标为（6，﹣1）或（﹣6，1）． 【点评】本题考查了三角形的面积，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式的应用，主要考查学生的推理和计算能力，题目比较好，难度适中．

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