题目

如图，已知点B．C．D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H． ①△BCE≌△ACD； ②CF=CH； ③△CFH为等边三角形； ④FH∥BD； ⑤AD与BE的夹角为60°， 以上结论正确的是　　． 　 答案：　①②③④⑤　．   【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质． 【分析】①利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD； ②利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH； ③由CF=CH和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形； ④∠DCH=∠CHF=60°，可得FH∥BD； ⑤设AD，BE相较于点O，根据三角形内角和定理可得∠CAD+∠CDA=60°，而∠CAD=∠CBE，则∠CBE+∠CDA=60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BOD=120°，进而可得AD与BE的夹角为60°． 【解答】证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED， ∴∠BCE=∠ACD， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）；   （2）∵△BCE≌△ACD， ∴∠CBF=∠CAH． ∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACH=60°． ∴∠BCF=∠ACH， 在△BCF和△ACH中， ， ∴△BCF≌△ACH（ASA）， ∴CF=CH； （3）∵CF=CH，∠ACH=60°， ∴△CFH是等边三角形； （4）∵△CHF为等边三角形 ∴∠FHC=60°， ∵∠HCD=60°， ∴FH∥BD． ∴AD=BE； （5）∵∠CAD+∠CDA=60°， 而∠CAD=∠CBE， ∴∠CBE+∠CDA=60°， ∴∠BOD=120°， ∴∠AOB=60°， 即AD与BE的夹角为60°， 故答案为：①②③④⑤． 【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．

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