题目

已知(1+3x)n的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求展开式中系数最大的项及其二项式系数最大的项. 答案：解:末三项的二项式系数分别为、、,由题设,得++=121,即++1=121.∴n2+n-240=0.∴n=15(n=-16舍去).∵Tr+1=(3x)r=·3rxr，设Tr+1项与Tr项的系数分别为tr+1与tr,则tr+1=3r,tr=·3r-1.令＞1,即＞1,解得r＜12.也就是说,当r取小于12的自然数时,都有tr＜tr+1,即第12项以前的各项,前面一项的系数都比后面一项的系数小.又当r=12时,tr+1=tr,即t13=t12,∴展开式中系数最大的项是T12=·311·x11,T13=·312·x12.当n=15时,二项式系数最大的是第8,9项,分别为·37·x7与·38·x8.

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