题目

如图2-2-4,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.图2-2-4(1)求证:AO⊥平面BCD;(2)求异面直线AB与CD所成角的大小;(3)求点E到平面ACD的距离. 答案：思路分析:本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.(1)证明:连结OC.∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=.而AC=2,∴AO2+CO2=AC2.∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.∵BD∩OC=O,∴AO⊥平面BCD.(2)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC.∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在△OME中,EM=AB=,OE=DC=1,∵OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,∴OM=AC=1.∴cos∠OEM=.∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos.(3)解:设点E到平面ACD的距离为h,∵VE—ACD=VA—CDE,∴h·S△ACD=·AO·S△CDE.在△ACD中,CA=CD=2,AD=,∴S△ACD=××.而AO=1,S△CDE=××22=,∴h=AO·.∴点E到平面ACD的距离为.

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