题目

已知椭圆C：＋＝1 (a>b>0)的两焦点在x轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为2的等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程； (2)动直线l:交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 答案：解　(1)∵椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形， ∴b＝c. ……………1分 又斜边长为2，即2b＝2，故c＝b＝1，a＝，………………………3分 椭圆方程为＋y2＝1. ………………………4分 (2)由题意可知该动直线过定点,当l与x轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为；当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1. 由 故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0,1). ………………………6分 下面证明Q(0,1)为所求： 若直线l的斜率不存在，上述已经证明. 若直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，………………………7分 Δ＝144k2＋64(9＋18k2)>0， ＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)， ·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋ ＝(1＋k2)·＋＝0，………………………10分 ∴⊥，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1). ………………………12分

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