题目

17.已知｛an｝是等比数列，a1=2，a3=18；｛bn｝是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20.  （Ⅰ）求数列｛bn｝的通项公式；（Ⅱ）求数列｛bn｝的前n项和Sn的公式；（Ⅲ）设　　　Pn=b1+b4+b7+…+b3n－2，　　　Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8，　　　其中n＝1，2，…，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论. 答案：17.本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力. 解：（Ⅰ）设｛an｝的公比为q，由a3＝a1q2得q2＝＝9，q=±3.当q＝－3时，a1+a2+a3=2－6+18=14<20，这与a1+a2+a3>20矛盾，故舍去；当q＝3时，a1＋a2+a3=2+6+18=26>20，故符合题意.设数列｛bn｝的公差为d，由b1+b2+b3+b4=26得4b1＋＝26，又b1=2，解得d=3，所以bn=3n－1.（Ⅱ）Sn=＝.（Ⅲ）b1，b4，b7，…，b3n－2组成以3d为公差的等差数列，所以Pn＝nb1+·3d=；b10，b12，b14，…，b2n+8组成以2d为公差的等差数列，b10＝29，所以Qn=nb10+·2d=3n2+26n，Pn－Qn=（）－（3n2+26n）=n（n－19），所以，对于正整数n，当n≥20时，Pn>Qn；当n=19时，Pn＝Qn；当n≤18时，Pn＜Qn　.

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