题目

已知椭圆C： =1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为． （1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程； （2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围； （3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积． 答案：（1）设N（x，y）由题意，则， 又， ∴， 从而得x2+y2=1…（3分） （2）由，得a=2．又，得． ∵点M（x0，y0）在椭圆上，，，且， •=（x0，y0）（，）=+=x02+， 由于，的取值范围是[，2]…（6分） （3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则； 1）当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m，由， 得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0；  有①…（7分） 由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x1x2+4y1y2=0； 整理得：② 将①式代入②式得：3+4k2=2m2，…（8分） 3+4k2＞0，则m2＞0，△=48m2＞0， 又点O到直线y=kx+m的距离， 丨AB丨==×=×， ∴…（9分） 2）当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（﹣2＜m＜2） 联立椭圆方程得；代入3x1x2+4y1y2=0，得， 解得m2=2，从而，（10分） S△OAB=丨AB丨×d=丨m丨丨y1﹣y2丨=，  综上：△OAB的面积是定值．…（12分）

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