题目

已知a,b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|，求a与a+b的夹角. 答案：解法一：根据|a|=|b|，有|a|2=|b|2，又由|b|=|a-b|，得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2，∴a·b=|a|2.而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,∴|a+b|=.设a与a+b的夹角为θ，则cosθ=，∴θ=30°.解法二：设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，∵|a|=|b|,∴.由|b|=|a-b|，得x1x2+y1y2=(),即a·b=().由|a+b|2=2()+2×()=3()，得|a+b|=().设a与a+b的夹角为θ，则cosθ=，∴θ=30°.解法三：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O，作=a，OB=b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.∵|a|=|b|，即||=||，∴OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时=a+b，=a-b.而|a|=|b|=|a-b|，即||=||=||.∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，即a与a+b的夹角为30°.

查看本题答案和解析