题目

如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O是AD的中点，以O为圆心在AD的下方作半径为3的半圆O，交AD于E、F． 思考：连接BD，交半圆O于G、H，求GH的长； 探究：将线段AF连带半圆O绕点A顺时针旋转，得到半圆O′，设其直径为E'F′，旋转角为α（0＜α＜180°）． （1）设F′到AD的距离为m，当m＞时，求α的取值范围； （2）若半圆O′与线段AB、BC相切时，设切点为R，求的长． （sin49°＝，cos41°＝，tan37°＝，结果保留π） 答案：思考：GH＝ ；探究：（1）α的取值范围为30°＜α＜150°；（2）或. 【解析】 思考：作ON⊥BD，证△ADB∽△NDO得，据此求得ON＝，再根据勾股定理求得NH的长，继而由GH＝2NH可得答案； 探究：(1)过F′作F′Q⊥AD于Q，分垂足Q落在线段AD上和线段DA延长线上两种情况，利用Rt△AQF′中，sin∠QAF′＝求得∠QAF′的度数即可得出∠α的范围； (2)分半圆O′与AB相切和与BC相切两种情况求解，求出所对圆心角度数即可得出答案． 【详解】 思考：如图1，过O作ON⊥BD于N， ∴HN＝GN， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°， 又∵AB＝6， ∴BD＝10， ∵∠BAD＝∠OND＝90°，∠ADB＝∠NDO， ∴△ADB∽△NDO， ∴， ∴ON＝， 连接OH， ∵OH＝3， ∴HN＝， ∴GH＝2HN＝； 探究：(1)如图2，过F′作F′Q⊥AD于Q， 当F′到AD的距离为时，有F′Q＝， 此时， 所以α＝30°， 如图3，当Q落在DA延长线时， 可求得α＝150°， 所以当m＞时，α的取值范围为30°＜α＜150°； (2)如图4，当半圆O′与AB相切，切点为R，连接O′R， ∴∠O′RA＝90°， ∵， ∴∠O′AR＝49°， ∴∠F′O′R＝90°+49°＝139°， ∴的长＝； 如图5，当半圆O′与BC相切，切点为R，过点O′作O′P⊥AB于P，连接O′R， ∴∠O′RB＝90°， 易得四边形PBRO′是矩形， ∴O′R＝BP＝3， ∴AP＝3， ∴， ∴∠PO'A＝49°， ∴∠RO'F'＝41°， ∴的长＝， 综上，的长为或. 【点睛】 本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握垂径定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及切线的性质等知识点．

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