题目

已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆心坐标为 (t∈R，t≠0)． （1）求证：△AOB的面积为定值； （2）直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程； （3）在（2）的条件下，设点P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标． 答案：解：(1)证明　由题意知，圆C的标准方程为(x－t)2＋2＝t2＋， 化简得x2－2tx＋y2－y＝0. 当y＝0时，x＝0或x＝2t，则A(2t,0)； 当x＝0时，y＝0或y＝，则B. ∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·||＝4，为定值. (2)∵|OM|＝|ON|，∴原点O在MN的中垂线上. 设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C，H，O三点共线，且直线OC的斜率与直线MN的斜率的乘积为－1，即直线OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2， ∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)， ∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5. 检验：当圆的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，圆心到直线2x＋y－4＝0的距离d＞r，此时直线与圆相离，故舍去. 故圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. (3)易求得点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点B′(－4，－2)， 则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|， 又∵B′到圆上点Q的最短距离为 |B′C|－r＝－＝3－＝2， ∴|PB|＋|PQ|的最小值为2，又直线B′C的方程为y＝x，联立解得 故|PB|＋|PQ|取得最小值时点P的坐标为，最小值为2.

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