题目

（本小题满分14分）        已知函数在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数在R上有三个零点，且1是其中一个零点。    （Ⅰ）求的值；    （Ⅱ）求的取值范围；    （Ⅲ）设，且的解集为（-∞，1），求实数的取值范围。 答案：（本小题满分14分）        解: （Ⅰ）∵f（x）=－x3+ax2+bx+c，∴．    1分        ∵f（x）在在（－∞,0）上是减函数，在（0,1）上是增函数，        ∴当x=0时，f（x）取到极小值，即．∴b=0．                 3分 （Ⅱ）由（1）知，f（x）=－x3+ax2+c，        ∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，∴c=1－a．    5分        ∵的两个根分别为，．        ∵f（x）在（0,1）上是增函数，且函数f（x）在上有三个零点，        ∴，即．      7分        ∴．        故f（2）的取值范围为．       9分 （Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知，且．        ∵1是函数的一个零点，∴，        ∵∴，        ∴点是函数和函数的图像的一个交点．     10分        结合函数和函数的图像及其增减特征可知，当且仅当函数和函数的图像只有一个交点时，的解集为．        即方程组（１）只有一个解．      11分        由，得．        即．        即．        ∴或．   12分        由方程， （２）        得．∵，        当，即，解得         13分        此时方程（２）无实数解，方程组（１）只有一个解．        所以时，的解集为． 14分 （Ⅲ）解法2：由（Ⅱ）知，且．        ∵1是函数的一个零点               又的解集为，            10分                11分               12分                 14分

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