题目

已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根（a∈R）,（1）求sin3θ+cos3θ的值；（2）求tanθ+cotθ的值. 答案：解：涉及实系数一元二次方程实根问题，欲求二根的某种组合式的值，则韦达定理必被用上，此题的解题关键在于据韦达定理和同角三角函数关系式先求出实数a来.依题意，方程判别式Δ≥0，即（-a）2-4a≥0,∴a≤0或a≥4，且∴(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=a2，即a2-2a-1=0,∴a=1-(1+舍去)，即sinθ+cosθ=sinθ·cosθ=1-.(1)∴sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=(1-)［1-(1-)］=-2;(2)∵tanθ+cotθ=∴tanθ+cotθ=-1.

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