题目

对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题： ①q=0时，f（x）为奇函数 ②y=f（x）的图象关于（0，q）对称 ③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根 ④方程f（x）=0至多有两个实数根 其中正确命题的序号为　 答案：①②③　． 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用． 【分析】①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数； ②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，再利用图象变换可得结论； ③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=； ④q=0，p=1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根． 【解答】解：①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数，所以①正确． ②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，把y=x|x|+px图象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q图象，即得f（x）的图象关于点（0，q）对称，所以②正确． ③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=﹣（舍去正根），故③正确． ④q=0，p=﹣1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根，故④不正确． 故答案为：①②③ 【点评】本题考查命题的真假判断和应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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