题目

已知二次函数f(x)=ax2+bx满足f(2)=0且方程f(x)=0有等根.(1)求f(x)的解析式；(2)问是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域为［m，n］，值域为［2m，2n］?如存在，求出m、n的值；如不存在，请说明理由. 答案：解:(1)依题意，方程ax2+(b－1)x=0有等根，∴(b－1)2=0,即b=1.又f(2)=0，∴4a+2b=0.∴a=－.∴f(x)=－x2+x.(2)∵f(x)=－ (x－1)2+≤,∴2n≤，即n≤.∵f(x)=－(x－1)2+的对称轴为x=1,∴当n≤时，f(x)在［m，n］上为增函数.设m、n存在，则即又m＜n≤，∴即存在实数m=－2，n=0，使f(x)的定义域为［－2，0］，值域为［－4，0］.点评:二次函数问题是函数中的重要题型，本题先用待定系数法确定解析式，然后再用m、n把定义域、值域联系起来，考查二次函数性质.

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