题目

若0＜a＜,求证：b-b2＜. 答案：证法一：＞=,只要证＞b-b2,∵b＞0,∴只要证 ＞1-b,    即1＞1-b2,即b2＞0.    由题意，b2＞0成立，因此原不等式成立.证法二：要证b-b2＜,只要证(b-b2)(a+1)＜1,①若b≥1,则有b-b2≤0,    故(b-b2)(a+1)≤0＜1成立;②若0＜b＜1,由0＜a＜得0＜ab＜1,(b-b2)(a+1)=ab(1-b)+b-b2＜(1-b)+b-b2=1-b2＜1.    综上，(b-b2)(a+1)＜1成立,因此原不等式也成立.证法三：(构造一次函数求解)由条件0＜a＜,即a∈(0,),若将a视为未知数，用x代替,即证x∈(0,)时，(b-b2)(x+1)＜1，即证(b-b2)(x+1)-1＜0.    设f(x)=(b-b2)(x+1)-1=(b-b2)x+(b-b2)-1,即证x∈(0,)时，f(x)＜0.    而f(x)为x的一次函数,且f(0)=(b-b2)-1=-(b2-b+1)＜0,f()=-b2＜0,    因此当x∈(0,)时，f(x)＜0成立,    从而原不等式成立.证法四：(构造二次函数)由0＜a＜得0＜b＜,故还可将b看作未知数，通过构造二次函数来证明.    设g(x)=x2-x+,0＜x＜,对称轴为x=,①当≤,即a≥2时，g(x)在(0,)上是减函数,∴x∈(0,)时，g(x)＞g()=-+=＞0;②当＞，即0＜a＜2时,∴x∈(0,)时，g(x)＞g()=-＞0.    综合①②知，x∈(0,)时，x2-x+＞0恒成立,     即x-x2＜,因此原不等式成立.

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