题目

设函数f(x)=ax2+8x+3(a∈R).(1)若g(x)=xf(x),f(x)与g(x)在x为某值时,都取得极值,求a的值.(2)对于给定的负数a,有一个最大的正数M(a),使得x∈［0,M(a)］时,恒有|f(x)|≤5.求:①M(a)的表达式;②M(a)的最大值及相应的a值. 答案：解析:(1)易知a≠0,f(x)在x=-处取得极值. ∵g(x)=ax3+8x2+3x,∴g′(x)=3ax2+16x+3.由题意得3a(-)2+16(-)+3=0,∴a=.(2)∵a＜0,f(x)=a(x+)2+3-,∴f(x)max=3-.图(1)         图(2)如图(1),当3-＞5,即-8＜a＜0时,要使|f(x)|≤5在x∈［0,M(a)］上恒成立,而M(a)要最大,∴M(a)只能是方程ax2+8x+3=5的较小根.如图(2),当3-≤5即a≤-8时,同样道理M(a)只能是方程ax2+8x+3=-5的较大根.综上,得M(a)=当a∈(-8,0)时,M(a)=当a∈(-∞,-8］时,M(a)=∴当且仅当a=-8时,M(a)有最大值.

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