题目

如图直角坐标系中，已知A（﹣8，0），B（0，6），点M在线段AB上． （1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由； （2）如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标． 答案：【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质． 【分析】（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可； （2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=x+6，设M（a，﹣a），把x=a，y=﹣a代入y=x+6得出关于a的方程，求出即可． 【解答】解：（1）直线OB与⊙M相切， 理由：设线段OB的中点为D，连结MD，如图1， ∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4． ∴∠AOB=∠MDB=90°， ∴MD⊥OB，点D在⊙M上， 又∵点D在直线OB上， ∴直线OB与⊙M相切； ， （2）解：连接ME，MF，如图2， ∵A（﹣8，0），B（0，6）， ∴设直线AB的解析式是y=kx+b， ∴， 解得：k=，b=6， 即直线AB的函数关系式是y=x+6， ∵⊙M与x轴、y轴都相切， ∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF， 设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0）， 把x=a，y=﹣a代入y=x+6， 得﹣a=a+6，得a=﹣， ∴点M的坐标为（﹣，）． 【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是，当d=r时，直线l和⊙O相切．

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