题目

如图，PA,QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC∩BD=O （Ⅰ）求证：OP⊥平面QBD; （Ⅱ）求二面角P-BQ-D平面角的余弦值；    （Ⅲ）过点C与平面PBQ平行的平面交PD于点E，求的值. 答案：解：（Ⅰ）连接OQ，由题知PA∥QC,∴P、A、Q、C共面 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A， ∴BD⊥平面PACQ, ∴BD⊥OP.   由题中数据得PA=2，AO=OC=,OP=,QC=1，OQ= ∴△ PAO∽ △ OCQ,∴∠POA=∠OQC, 又∵∠POA+∠OPA=90°∴∠POA+∠COQ=90°∴OP⊥OQ （或计算PQ=3，由勾股定理得出∠POQ=90°，OP⊥OQ）------------------3分 ∵OP⊥BD, OP⊥OQ,BD∩OQ=O，∴OP⊥平面QBD--------------------------4分 （Ⅱ）如图，以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为X,Y,Z轴建立直角坐标系， ∴各点坐标分别为A(0,0,0) ，B(2,0,0) ，C（2,2,0），D（0,2,0）,P（0,0,2）,Q(2,2,1),O(1,1,0)-- -----------------5分 ∴=(-2,0,2), =（0,2,1）,设平面PBQ的法向量 ∴，得， 不妨设，∴--------------------------------------------------6分 由（Ⅰ）知平面BDQ的法向量，---------------------------------7分 ，>=， ∴二面角P-BQ-D平面角的余弦值为.--------------------------------------9分 （Ⅲ）设,∴, ， ∵CE∥平面PBQ,∴与平面PBQ的法向量垂直。 ,------------------------------------------- ∴. ∴--------------------------------------------------13分 （方法二）在平面PAD中，分别过D点、P点作直线PA、AD的平行线相交于点M， 连结MC交直线DQ与点N，在平面PQD中过点N作直线NE∥PQ交PQ于点E， -------11分 由题可知CN∥PB,NE∥PQ,CN∩NE=N ∴平面CNE∥平面PBQ,∴CE∥平面PBQ----------------------------------12分 ∵CQ=1，MD=PA=2，∴ ∵NE∥PQ, ------------------------------------------------------------13分

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