题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点． (1) 求证：A、C、T三点共线； (2) 如果，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标． 答案： (1) 证明：设椭圆方程为＝1(a＞b＞0) ①，则A(0，b)，B(0，－b)，T. AT：＝1 ②，BF：＋＝1 ③，解得交点C， 代入①得＝1，满足①式，则C点在椭圆上，即A、C、T三点共线． (2) 解：过C作CE⊥x轴，垂足为E， 则△OBF∽△ECF. ∵，CE＝b，EF＝c，则C，代入①得＝1，∴ a2＝2c2，b2＝c2.设P(x0，y0)，则x0＋2y＝2c2.此时C，AC＝ c，S△ABC＝·2c·＝c2， 直线AC的方程为x＋2y－2c＝0，P到直线AC的距离为d＝ S△APC＝d·AC＝··c.只须求x0＋2y0的最大值， (解法1)∵ (x0＋2y0)2＝x＋4y＋2·2x0y0≤x＋4y＋2(x＋y)＝3(x＋2y)＝6c2，∴ x0＋2y0≤c.当且仅当x0＝y0＝c时，(x0＋2y0)max＝c. (解法2)令x0＋2y0＝t，代入x＋2y＝2c2得(t－2y0)2＋2y－2c2＝0，即6y－4ty0＋t2－2c2＝0.Δ＝(－4t)2－24(t2－2c2)≥0，得t≤c.当t＝c，代入原方程解得x0＝y0＝c. ∴ 四边形的面积最大值为，∴ c2＝1，a2＝2，b2＝1，此时椭圆方程为＋y2＝1.P点坐标为.

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