题目

设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件： ①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立； ②当x∈（0，5）时，2x≤f（x）≤4|x﹣1|+2恒成立． （1）求f（1）的值； （2）求f（x）的解析式； （3）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤2x成立． 答案：考点： 二次函数的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）由当x∈（0，5）时，2x≤f（x）≤4|x﹣1|+2恒成立，令x=1，可得f（1）=2， （2）由①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立，及f（x）的最小值为0，结合（1）中f（1）=2，可得函数的解析式， （3）若当x∈[1，m]时，f（x+t）≤2x成立．则当x∈[1，m]时，（x+t+1）2≤2x成立．即x2+（2t﹣2）x+t2+2t+1≤0成立，令g（x）=x2+（2t﹣2）x+t2+2t+1，则，解不等式组可求出m的取值范围． 解答： 解：（1）∵当x∈（0，5）时，2x≤f（x）≤4|x﹣1|+2恒成立， 令x=1，则2≤f（1）≤2， ∴f（1）=2， （2）∵①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立， ∴函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口朝上，且以直线x=﹣1为对称轴， 又∵f（x）的最小值为0， ∴f（x）=a（x+1）2， 由（1）中f（1）=2， ∴a=， ∴f（x）=（x+1）2， （3）∵当x∈[1，m]时，f（x+t）≤2x成立． ∴当x∈[1，m]时，（x+t+1）2≤2x成立． 即x2+（2t﹣2）x+t2+2t+1≤0成立， 令g（x）=x2+（2t﹣2）x+t2+2t+1， 则，即， 解得：， ∴≤=9， 即实数m的最大值为9． 点评： 本题考查的知识点是二次函数解析式的求法，抽象函数，函数恒成立问题，难度中档． 　

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