题目

如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M． （1）求证：∠FMC=∠FCM； （2）AD与MC垂直吗？并说明理由． 答案：【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出DF⊥AE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案； （2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行线的判定得出答案． 【解答】（1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点， ∴DF⊥AE，DF=AF=EF， 又∵∠ABC=90°， ∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余， ∴∠DCF=∠AMF， 在△DFC和△AFM中， ， ∴△DFC≌△AFM（AAS）， ∴CF=MF， ∴∠FMC=∠FCM； （2）AD⊥MC， 理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=FA=FE，FM=FC， ∴∠FDE=∠FMC=45°， ∴DE∥CM， ∴AD⊥MC． 　

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