题目

已知函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+4x+6a(a∈R)，g(x)=4x+6．(Ⅰ)若函数y=f(x)的切线斜率的最小值为1，求实数a的值；(Ⅱ)若两个函数图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围． 答案：解：(Ⅰ)y=f(x)=2x3-3(a-1)x2+4x+6a求导数得f′(x)=6x2-6(a-1)x+4(2分)≥  =4-(a-1)2=1∴(a-1)2=2，∴a=±+1(Ⅱ)∵g(x)=4x+6的图像是一直线因此两个函数图像的公共点的个数取决于方程f(x)=g(x)的解的个数所以只需研究函数m(x)=f(x)-g(x)图像与x轴关系．由m(x)=2x3-3(a-1)x2+6(a-1)求导数得m′(x)=6x2-6(a-1)x=6x[x-(a-1)](ⅰ)在a=1时，m′(x)=6x2≥0，m(x)在R上单调递增，则m(x)与x轴只有一个交点  (ⅱ)在a≠1时，m′(x)=0有两根x1=0，x2=a-1，即为y=m(x)的两个极值点．m(x1)=m(0)=6(a-1)m(x2)=m(a-1)=-(a-1)3+6(a-1)=(a-1)[6-(a-1)2]y=m(x)与x轴只有一个交点，则需m(x1)m(x2)＞0  ∴6(a-1)(a-1)[6-(a-1)2]＞0(a≠1)∴(a2-1)2-6＜0有1-＜a＜1+且a≠1由(ⅰ)(ⅱ)可知所求a范围为(1-，1+).

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