题目

（本小题满分13分）若圆过点且与直线相切，设圆心的轨迹为曲线，、为曲线上的两点，点，且满足. （1）求曲线的方程； （2）若，直线的斜率为，过、两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程； （3）分别过、作曲线的切线，两条切线交于点，若点恰好在直线上，求证：与均为定值. 答案：解：（1）依题意,点到定点的距离等于到定直线的距离，所以点的轨迹为抛物线，曲线的方程为；       …………………………………………………………3分 （2）直线的方程是,即， 由得点、的坐标是或，………………………………5分 当、时，由得,，  所以抛物线在点处切线的斜率为， 直线的方程为，即…………① 线段的中点坐标为，中垂线方程为，即…………② 由①、②解得，       …………………………………………………………7分 于是，圆的方程为， 即  ， ………………………………………………………8分 当、时，抛物线在点处切线的斜率为，此时切线与垂直，所求圆为以为直径的圆，可求得圆为，  ……9分 （3）设，,，过点的切线方程为， 即，同理可得，所以,，……10分 又=，所以直线的方程为， 即,亦即,所以，………………………………………11分 而,，所以 .               …………………………………13分

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