题目

已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R. (1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． (2)若a＝－1，求f(x)的单调区间． 答案：[解]　f′(x)＝(ax＋2a＋1)xex. (1)若a＝1，则f′(x)＝(x＋3)xex，f(x)＝(x2＋x－1)ex， 所以f′(1)＝4e，f(1)＝e. 所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0. (2)若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)xex. 令f′(x)＝0解x1＝－1，x2＝0. 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0； 当x∈(－1,0)时，f′(x)＞0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0； 所以f(x)的增区间为(－1,0)，减区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．

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