题目

如图，三棱柱中，侧面侧面，， ，，为棱 的中点，在棱上， 面． （1）求证：为的中点； （2）求二面角的余弦值． 答案： (Ⅰ)连结,因为为正三角形,为棱的中点,    所以,从而,又面面, 面面,面, 所以面.………………………………1分 以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,………2分 不妨设,则,,, 设,则,,………3分 因为平面,平面,所以, 所以,解得,即,所以为的中点.………5分    (Ⅱ),,,    设平面的法向量为,则,即,解得,    令,得,…………………………………9分    显然平面的一个法向量为,……………………10分    所以, 所以二面角的余弦值为.…………………12分 [传统法](Ⅰ)设,由,所以, 因为平面,平面,所以, 从而,所以,所以, 故,所以为的中点.…………………5分 (Ⅱ)连结,由可得为正三角形, 取中点,连结,则,    因为面面,面面, 面,所以面.…………………7分 作于,连结,则, 所以是二面角的平面角.………………………………9分 经计算得,,,, 所以二面角的余弦值为.…………………………………12分

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