题目

已知函数f(x)=ax-1-ln x(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若函数f(x)在x=1处取得极值,不等式f(x)≥bx-2对∀x∈(0, +∞)恒成立,求实数b的取值范围; (3)当x>y>e-1时,证明不等式exln(1+y)>eyln(1+x). 答案： (1)解:函数的定义域是(0,+∞), 且f′(x)=a-=. 当a≤0时,ax-1<0,从而f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当a>0时,若0<x<,则ax-1<0,从而f′(x)<0; 若x≥,则ax-1≥0,从而f′(x)≥0, 所以函数f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增. (2)解:由(1)可知,函数的极值点是x=, 所以=1,则a=1. 若f(x)≥bx-2在(0,+∞)上恒成立,即x-1-ln x≥bx-2在(0,+∞)上恒成立,只需b≤1+-在(0,+∞)上恒成立. 令g(x)=-,则g′(x)=--+=. 易知x=e2为函数g(x)在(0,+∞)内唯一的极小值点,也是最小值点,故[g(x)]min=g(e2)=-,即(1+-)min=1-,故只要b≤1-即可. 所以b的取值范围是(-∞,1-]. (3)证明:由题意可知,要证不等式exln(1+y)>eyln(1+x)成立,只需证>. 构造函数h(x)=,则h′(x)==,h′(x)在(e,+∞)上单调递增, h′(x)>h′(e)>0, 则h(x)在(e,+∞)上单调递增. 由于x>y>e-1,所以x+1>y+1>e, 所以>, 即exln(1+y)>eyln(1+x).

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