题目

已知函数f(x)＝. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若函数y＝g(x)对任意x满足g(x)＝f(4－x)，求证：当x>2，f(x)>g(x)； (3)若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>4. 答案：[解]　(1)∵f(x)＝，∴f′(x)＝. 令f′(x)＝0，解得x＝2. x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 极大值 ∴f(x)在(－∞，2)内是增函数，在(2，＋∞)内是减函数． ∴当x＝2时，f(x)取得极大值f(2)＝. (2)g(x)＝f(4－x)＝，令F(x)＝f(x)－g(x)＝－， ∴F′(x)＝－＝. 当x>2时，2－x<0,2x>4，从而e4－e2x<0， ∴F′(x)>0，F(x)在(2，＋∞)是增函数． ∴F(x)>F(2)＝－＝0，故当x>2时，f(x)>g(x)成立． (3)∵f(x)在(－∞，2)内是增函数，在(2，＋∞)内是减函数． ∴当x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，x1、x2不可能在同一单调区间内． 不妨设x1<2<x2，由(2)可知f(x2)>g(x2)，又g(x2)＝f(4－x2)，∴f(x2)>f(4－x2)． ∵f(x1)＝f(x2)，∴f(x1)>f(4－x2)． ∵x2>2,4－x2<2，x1<2，且f(x)在区间(－∞，2)内为增函数， ∴x1>4－x2，即x1＋x2>4.

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