题目

对于平面直角坐标系xOy中的定点P和图形F，给出如下定义：若在图形F上存在一点N，使得点Q，点P关于直线ON对称，则称点Q是点P关于图形F的定向对称点． （1）如图，，，， ①点P关于点B的定向对称点的坐标是      ； ②在点，，中，______是点P关于线段AB的定向对称点． （2）直线分别与x轴，y轴交于点G，H，⊙M是以点为圆心，为半径的圆． ①当时，若⊙M上存在点K，使得它关于线段GH的定向对称点在线段GH上，求的取值范围； ②对于，当时，若线段GH上存在点J，使得它关于⊙M的定向对称点在⊙M上，直接写出b的取值范围． 答案：（1）①；②点C，D；（2）① 或；②． 【分析】 （1）①求出点P关于直线OB的对称点G即可． ②求出OP，OC，OD，OE的长即可判断． （2）①求出两种特殊位置b的值即可．如图2中，作⊙M关于y轴的对称图形⊙M′，当直线GH与⊙M′在第一象限相切时，设切点为P，连接PM′．如图3中，以O为圆心，3为半径作⊙O，当直线GH与⊙O在第四象限点相切于点P时，连接OP，分别求出OH的值即可解决问题． ②如图4中，设⊙M交x轴于K，T，则K（﹣1，0），T（5，0）．求出两种特殊位置b的值即可判断． 【详解】 解：（1）①如图1中，   ∵P（0，2），B（1，1）， ∴点P关于OB的对称点G（2，0）， 故答案为：（2，0）． ②∵点C（0，﹣2），D（1，﹣），E（2，﹣1）， ∴OP＝2，OD＝2，OC＝2，OE＝， ∴OP＝OD＝OC， ∴点C，D是点P关于线段AB的定向对称点． 故答案为：点C，D． （2）①如图2中，作⊙M关于y轴的对称图形⊙M′，当直线GH与⊙M′在第一象限相切时，设切点为P，连接PM′，   当b＞0时， 由题意得：tan∠HGO＝， ∴∠PGM＝30°， ∵PM′＝1，∠MPG＝90°， ∴MG＝2MP＝2， ∴OG＝GM+OM＝4， ∴OH＝OG•tan30°＝， 当直线经过（-1，0）时， . ∴ 若b＜0时， 当当直线经过（1，0）时， . 如图3中，以O为圆心，3为半径作⊙O，当直线GH与⊙O在第四象限点相切于点P时，连接OP，   同法可得OH＝2，∴ 观察图象可知满足条件的b的值：﹣2≤b≤． 综上所述，b的取值范围是 或. ②如图4中，设⊙M交x轴于K，T，则K（﹣1，0），T（5，0）．   以O为圆心，5为半径作⊙O，当直线GH与⊙O在第二象限相切于点J时， 可得OH＝， 此时直线GH的解析式为y＝x+， 当直线GH经过点K（﹣1，0）时，0＝﹣+b， 可得b＝， 此时直线GH的解析式为y＝x+， 观察图象可知满足条件的b的值为：≤b≤． 【点睛】 本题属于一次函数综合题，考查了定向对称点的定义，直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．

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