题目

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O1为BD的中点，O2为BC1的中点，O3为DC1的中点，求证：A1C⊥平面O1O2O3. 答案：证明：不妨设正方体的棱长为1个单位长度，且设,,.以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz,则C(0,1,0),A1(1,0,1),O1(,,0),O2(,1,),O3(0, ,)，=(-1,1,-1),=(0, ,),=(-,0, ).∴,.∴且.∴A1C⊥O1O2且A1C⊥O1O3.又∵O1O2∩O1O3=O1,∴A1C⊥平面O1O2O3.启示：用向量坐标运算证明线线或线面垂直是向量的一个重要应用，要熟练掌握.关键是建系，求点的坐标，其中建系的恰当与否决定解题的繁简程度.

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