题目

（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号） 答案：（1）（2）存在 这样的点P共有4个：，，，解析:解：（1）设抛物线的解析式为：由题意得：                            ……………1分解得：                       ……………2分∴抛物线的解析式为：                  ……………3分（2）存在                                              ………………4分抛物线的顶点坐标是，作抛物线和⊙M（如图），设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C连接MC，过C作CD⊥x 轴于D ∵MC =" OM" =" 2,"  ∠CBM =" 30°, " CM⊥BC∴∠BCM =" 90°" ，∠BMC =" 60°" ，BM =" 2CM" =" 4" ,  ∴B (-2, 0)                  在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30°∴DM =" 1,  " CD = =        ∴   C (1, )设切线 l 的解析式为:，点B、C在 l 上，可得：        解得： ∴切线BC的解析式为：∵点P为抛物线与切线的交点由        解得：        ∴点P的坐标为：，                    …………8分∵ 抛物线的对称轴是直线此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形于是作切线 l 关于直线的对称直线 l′(如图)得到B、C关于直线的对称点B1、C1l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点： ，即为所求的点.∴这样的点P共有4个：，，， ……12分（本题其它解法参照此标准给分）

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