题目

.如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1．过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G. （１）证明：AD∥平面EFGH； （２）设AB=2AA1=2a，在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p.当点E，F分别在棱A1B1，B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值. 答案：（１）证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD∥A1D1， 又因为EH∥A1D1，所以AD∥EH. 因为AD平面EFGH，EH平面EFGH， 则AD∥平面EFGH． （２）解:设BC=b，则长方体ABCD-A1B1C1D的体积V=AB·AD·AA1=2a2b． 几何体EB1F-HC1C的体积V1=（EB1·B1F·B1C1）=EB1·B1F． 因为, 所以EB1·B1F. 当且仅当EB1=B1F=时等号成立． 从而V1≤. 故≥． 当且仅当EB1=B1F=时等号成立． 则p的最小值为．

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