题目

如图，D是四边形AEBC内一点，连接AD、BD，已知CA=CB，DA=DB，EA=EB． （1）C、D、E三点在一条直线上吗？为什么？ （2）如果AB=24，AD=13，CA=20，那么CD的长是多少？ 答案：【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）连结CD．ED，通过证明△ADC≌△BDC，△ADE≌△BDE就可以得出结论； （2）连结AB，就可以得出AE=BE，CE⊥AB，由勾股定理就可以求出CD的值． 【解答】解：（1）C、D、E三点在一条直线上． 理由：连结CD．ED， 在△ADC和△BDC中 ， ∴△ADC≌△BDC（SSS）， ∴∠ADC=∠BDC．∠ACD=∠BCD． 在△ADE和△BDE中 ， ∴△ADE≌△BDE（SSS）， ∴∠ADE=∠BDE． ∵∠ADC+∠BDC+∠ADE+∠BDE=360°， ∴2∠ADC+2∠ADE=360°， ∴∠ADC+∠ADE=180°， ∴C、D、E三点在一条直线上； （2）连结AB， ∵AC=BC，∠ACD=∠BCD， ∴AF=BF=AB，CF⊥AB． ∵AB=24， ∴AF=12． ∵AD=13，CA=20， ∴在Rt△ADF和△AFC中，由勾股定理，得 FD=5，FC=16， ∴CD=16﹣5=11． 答：CD的长是11． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 　

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