题目

已知点A（1，1），B（1，﹣1），C（cosθ， sinθ）（θ∈R），O为坐标原点． （1）若||=，求sin2θ的值； （2）若实数m，n满足m+n=，求（m﹣3）2+n2的最大值． 答案：【分析】（1）根据向量的坐标计算（终点坐标减始点坐标）求出，然后再根据向量减法和模的坐标计算结合条件||=得出sinθ+cosθ=再两边平方即可得解． （2）根据向量相等和条件m+n=求出然后再代入（m﹣3）2+n2中可得（m﹣3）2+n2=﹣3（sinθ+cosθ）+10再结合辅助角公式可得（m﹣3）2+n2=﹣6sin（θ+）+10从而可得出当sin（θ+）=﹣1时，（m﹣3）2+n2取得最大值16． 【解答】解：（1）∵|﹣|=||，A（1，1），B（1，﹣1），C（cosθ， sinθ） ∴=（cosθ﹣1， sinθ﹣1） ∴||2=（cosθ﹣1）2+（sinθ﹣1）2=﹣2（sinθ+cosθ）+4． ∴﹣2（sinθ+cosθ）+4=2，即sinθ+cosθ=， 两边平方得1+sin2θ=， ∴sin2θ=﹣． （2）由已知得：（m，m）+（n，﹣n）=（cosθ， sinθ）， ∴ 解得 ∴（m﹣3）2+n2=m2+n2﹣6m+9， =﹣3（sinθ+cosθ）+10 =﹣6sin（θ+）+10， ∴当sin（θ+）=﹣1时，（m﹣3）2+n2取得最大值16． 　

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