题目

．已知点P是长轴长为的椭圆Q：上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与OM的斜率之积恒为． （1）求椭圆Q的方程； （2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD的垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是，求|CD|的最小值． 答案：【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）利用椭圆Q的长轴长为，求出．设P（x0，y0），通过直线PA与OM的斜率之积恒为，化简求出b，即可得到椭圆方程． （2）设直线l方程为y=k（x+1）（k≠0），代入有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），利用韦达定理求出CD的垂直平分线方程，推出，利用弦长公式化简，推出|CD|的最小值． 【解答】解：（1）∵椭圆Q的长轴长为，∴． 设P（x0，y0）， ∵直线PA与OM的斜率之积恒为，∴， ∴，∴b=1， 故椭圆的方程为． （2）设直线l方程为y=k（x+1）（k≠0），代入有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0）， ∴． ∴ ∴CD的垂直平分线方程为， 令y=0，得 ∵，∴，∴． =，．

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