题目

已知函数φ(x)=+1,f(x)=(a+b)x-ax-bx,其中a,b∈N+,a≠1,b≠1,a≠b,且ab=4,(1)求函数φ(x)的反函数g(x);(2)对任意n∈N+，试指出f(n)与g(2n)的大小关系，并证明你的结论. 答案：思路分析：欲比较f(n)与g(2n)的大小，需求出f(n)与g(2n)的关于n的表达式，以利于特殊探路——从n=1，2，3，…中寻找、归纳一般性结论，再用数学归纳法证明.解：(1)由y=+1,得=y-1(y≥1),有x+1=(y-1)2,即x=y2-2y,故g(x)=x2-2x(x≥1).(2)∵f(n)=(a+b)n-an-bn，g(2n)=4n-2n+1,当n=1时f(1)=0,g(2)=0，有f(1)=g(2).当n=2时，f(2)=(a+b)2-a2-b2=2ab=8,g(22)=42-23=8,f(2)=g(22).当n=3时，f(3)=(a+b)3-a3-b3=3a2b+3ab2=3ab(a+b)＞3ab×=48.g(23)=43-24=48,有f(3)＞g(23).当n=4时,f(4)=(a+b)4-a4-b4=4a3b+4ab3+6a2b2=4ab(a2+b2)+6a2b2＞4ab×2ab+6a2b2=14a2b2=224.g(24)=44-25=224,有f(4)＞g(24),由此推测当1≤n≤2时，f(n)=g(2n),当n≥3时，f(n)＞g(2n).下面用数学归纳法证明.(1)当n=3时，由上述推测成立；（2）假设n=k时，推测成立.即f(k)＞g(2k)(k≥3),即（a+b）k-ak-bk＞4k-2k+1,那么f(k+1)=(a+b)k+1-ak+1-bk+1=(a+b)·(a+b)k-a·ak-b·bk=(a+b)［(a+b)k-ak-bk］+akb+abk.又依题设a+b＞2ab=4.akb+abk＞=2(ab)=2k+2,有f(k+1)＞4［(a+b)k-ak-bk］+2k+2＞4(4k-2k+1)+2k+2=4k+1-2k+2=g(2k+1),即n=k+1时，推测也成立.    由（1）（2）知n≥3时，f(n)＞g(2n)都成立.

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