题目

已知动圆过定点(,0)，且与直线x=-相切，其中p＞0：（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β为定值θ(0＜θ＜π＝时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标. 答案：解：（1）设动圆圆心为M(x,y)，则,∴y2=2px(p＞0).（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2),由题意得x1≠x2（否则α+β=π）且x1,x2≠0，所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，显然x1=,x2=，将y=kx+b代入y2=2px去x得ky2-2py+2pb=0，由韦达定理知，y1+y2=,y1·y2=.①a.当θ=时，即α+β=，tanα·tanβ=1，∴=1,即x1x2-y1y2=0.∴y1y2=4p2.由①式知=4p2,∴b=2pk.因此，直线AB的方程可表示为y=kx+2pk，即k(x+2p)-y=0,∴直线AB恒过定点(-2p,0).b.当θ≠时，由α+β=θ得tanθ=tan(α+β)=，将①式代入上式整理化简，得tanθ=,∴b=+2pk，此时，直线AB的方程可表示为y=kx++2pk，即k(x+2p)-(y-)=0.∴直线AB恒过定点(-2p,).根据a、b可知，当θ=时，AB恒过定点(-2p,0)；当θ≠时，直线AB恒过定点(-2p,).

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