题目

在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB． (1)如图①，当∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°时，求证：AB＋AD＝AC． (2)如图②，当∠DAB＝120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明． (3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC还有上面的数量关系吗?说明理由。答案：解：(1)在四边形ABCD中，∵AC平分∠DAB，∠DAB＝120°， ∴∠CAB＝∠CAD＝60°．又∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD＝30°．，即AB＋AD＝AC． (2)AB＋AD＝AC．证明如下：如图①，过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F． ∵AC平分∠DAB， ∴CE＝CF． ∵∠ABC＋∠D＝180°， ∠ABC＋∠CBF＝180°， ∴∠CBF＝∠D．又∵∠CED＝∠CFB＝90°， ∴△CED≌△CFB．∴ED＝BF． ∴AD＋AB＝AE＋ED＋AB＝AE＋BF＋AB＝AE＋AF．由(1)知AE＋AF＝AC． ∴AB＋AD＝AC．第26题答图① 第26题答图② (3)AB＋AD＝AC．证明如下：如图②，过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F． ∵AC平分∠DAB，∴CE＝CF． ∵∠ABC＋∠ADC＝180°， ∠ADC＋∠FDC＝180°， ∴∠ABC＝∠FDC．又∵∠CEB＝∠CFD＝90°． ∴△CEB≌△CFD．∴CB＝CD．延长AB至G，使BG＝AD，连结CG． ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠CBG＝180°， ∴∠CBG＝∠ADC．∴△GBC≌△ADC． ∴∠G＝∠DAC＝∠CAB＝45°．∴∠ACG＝90°．．．

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