题目

如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°． （Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值． 答案：（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC． （Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角． 在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC． 在Rt△DAN中，AN=1，故DN=． 在等腰三角形DMN中，MN=1，可得． 所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为． （Ⅲ）解：连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角． 在Rt△CAD中，CD==4． 在Rt△CMD中，． 所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．

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