题目

在R上的减函数f（x）满足当且仅当x∈MR+时，值域为［0，2］，且f（）=1，又对M中的任意x1、x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）， （1）证明f-1（x1）f-1（x2）=f-1（x1+x2）；（2）解不等式f-1（x2+x）f-1（x+2）≤（0≤x≤2）. 答案：（1）证明：任取x1、x2∈［0，２］，且设y1=f-1（x1），y2=f-1（x2）x1=f（y1），x2=f（y2），则x1+x2=f（y1）+f（y2）=f（y1y2）y1y2f-1（x1+x2）.又y1y2=f-1（x1）f-1（x2），所以f-1（x1）f-1（x2）=f-1（x1+x2）成立.（2）解：f（x）为减函数，则f-1（x）也为减函数.因f（）=f（×）=f（）+f（）=2，则f-1（x2+x）f-1（x+2）≤f-1（x2+2x+2）≤f-1（2）x=0或x=-2.又由已知条件0≤x≤2，得x=0.

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