题目

（07年重庆卷理）(13分)如图，在直三棱柱ABC―中， AB = 1,；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5。（1）求异面直线DE与的距离；(8分)（2）若BC =，求二面角的平面角的正切值。(5分)              答案：解析：解法一：（Ⅰ）因，且，故面，从而，又，故是异面直线与的公垂线．设的长度为，则四棱椎的体积为．而直三棱柱的体积为．由已知条件，故，解之得．从而．在直角三角形中，，又因，故．（Ⅱ）如答（19）图1，过作，垂足为，连接，因，，故面．由三垂线定理知，故为所求二面角的平面角．在直角中，，又因，故，所以．解法二：（Ⅰ）如答（19）图2，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，则，．设，则，又设，则，从而，即．又，所以是异面直线与的公垂线．下面求点的坐标．设，则．因四棱锥的体积为．而直三棱柱的体积为．由已知条件，故，解得，即．从而，，．接下来再求点的坐标．由，有，即      （1）又由得．     （2）联立（1），（2），解得，，即，得．故．（Ⅱ）由已知，则，从而，过作，垂足为，连接，设，则，因为，故……………………………………①因且得，即……………………………………②联立①②解得，，即．则，．．又，故，因此为所求二面角的平面角．又，从而，故，为直角三角形，所以．

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