题目

已知函数是定义在R上的奇函数，其中g(x)为指数函数，且y＝g(x)的图象过定点(2，9)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若关于x的方程，f(x)=a有解，求实数a的取值范围； (3)若对任意的t∈[0，5]，不等式f(t2＋2kt)＋f(－2t2－4)>0恒成立，求实数k的取值范围． 答案：解：(1)设g(x)＝ax(a>0，且a≠1))，则a2＝9， 所以a＝－3 (舍去)或a＝3， 所以g(x)＝3x，f(x)＝. 又f(x)为奇函数，且定义域为R， 所以f(0)＝0，即＝0，所以m＝1， 所以f(x)＝. (2) (3)设x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为x1<x2，所以3x2－3x1>0， 所以>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)在R上单调递减． 要使对任意的t∈[0，5]， f(t2＋2kt)＋f(－2t2-4)>0恒成立， 即对任意的t∈[0，5]， f(t2＋2kt)>－f(－2t2-4)恒成立． 因为f(x)为奇函数， 所以f(t2＋2kt)>f(2t2＋4)恒成立． 又因为函数f(x)在R上单调递减， 所以对任意的t∈[0，5]，t2＋2kt<2t2＋4恒成立， 即对任意的t∈[0，5]，t2－2kt＋4>0恒成立． 令h(t)=t2－2kt＋4，t∈[0，5]， 时， ‚ 所以，. ƒ，，无解. 综上，k<2.

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