题目

已知椭圆过点，其焦距为. （Ⅰ）求椭圆的方程；     （Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；   （ii）（1班完成）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为.当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.（1班完成）      图（1）                                图（2） 答案：解：（I）依题意得：椭圆的焦点为，由椭圆定义知：  ，   所以椭圆的方程为. （6分）<4分>  （II）（ⅰ）设，则椭圆在点B处的切线方程为（7分）<5分>   令，，令，所以 （8分）<6分>   又点B在椭圆的第一象限上，所以    （10分）<7分>   （12分）<8分>   当且仅当   所以当时，三角形OCD的面积的最小值为（14分）<9分>  （Ⅲ）设，则椭圆在点处的切线为：，又过 点，所以，同理点也满足<10分>   所以都在直线上， 即：直线MN的方程为<12分> 所以原点O到直线MN的距离，<13分>  所以直线MN始终与圆相切. <14分>

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