题目

如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由． 答案：解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3） ∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组         解得： ∴抛物线的解析式为        （2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示， 若△ABO∽△AP1D，则 ∴DP1=AD=4  ,          ∴P1 若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4, ∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2） （3）如图设点E ，则 ①当P1(-1,4)时，                 S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE =     ∴    ∴ ∵点E在x轴下方  ∴ 代入得： ,即 ∵△=(-4)2-4×7=-12<0     ∴此方程无解 ②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE =       ∴    ∴ ∵点E在x轴下方  ∴  代入得： 即 ，∵△=(-4)2-4×5=-4<0 ∴此方程无解 综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。

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