题目

设f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)的导函数为f′(x),且对任意正数x均有f′(x)＞,(Ⅰ)求证：F(x)=在(0,+∞)上是增函数；(Ⅱ)设x1,x2∈(0,+∞),比较f(x1)+f(x2)与f(x1+x2)的大小，并证明你的结论；(Ⅲ)设x1,x2,…xn∈(0,+∞),若n≥2,比较f(x1)+f(x2)+…f(xn)与f(x1+x2+…+xn)的大小，并证明你的结论. 答案：解析：(Ⅰ)F′(x)=,∵f′(x)＞,x＞0,∴xf′(x)＞f(x),∴F′(x)＞0,∴F(x)在(0,+∞)上是增函数.(Ⅱ)∵0＜x1＜x1+x2,∴F(x1)＜F(x1+x2).    即＜,∴(x1+x2)f(x1)＜x1f(x1+x2).    同理(x1+x2)f(x2)＜x2f(x1+x2),∴f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2).(Ⅲ)当n=2时，f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2)成立,    假设当n=k时，f(x1)+f(x2)+…+f(xk)＜f(x1+x2+…+xk)成立.    那么f(x1)+f(x2)+…+f(xk)+f(xk+1)＜f(x1+x2+…+xk)+f(xk+1)＜f(x1+x2+…+xk+1)成立.∴当n=k+1时也成立，    当n≥2时,∴f(x1)+f(x2)+…+f(xn)＜f(x1+x2+…+xn).

查看本题答案和解析