题目

（本小题共14分） 如图，在Rt中，，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为. （1）求证：； （2）当点为线段的中点时，求与平面所成角的大小； （3）求四棱锥体积的最大值.   答案：（本小题共14分） （Ⅰ）证明：在Rt中，，∴.∴. 又∵， ∴平面.   …………………………………2分 又∵平面，∴.  ………………4分 （Ⅱ）解法一：过点作交于，连结. ∵平面，平面， ∴. ∵，∴平面. ∴是在平面内的射影. ∴是与平面所成的角.        ………………………………………6分 ∵点为线段的中点，， ∴. ∵， ∴是二面角的平面角.            ………………………………………8分 ∵二面角的大小为，  ∴. 在Rt△中，.∴. 在Rt△中，.∴在Rt△中，. ∴与平面所成角的大小为.  …………………………………9分 解法二：如图，以为原点建立空间直角坐标系． ∵点为线段的中点，， ∴. ∵， ∴是二面角的平面角. ∵二面角的大小为， ∴. ………………………………………6分 可得，. 则，且平面的法向量n. ∴.∴与平面所成角的大小为.  …………9分 （Ⅲ）设，则.同（Ⅱ）可求得. 在等腰直角三角形中，， ∴. ∴.………11分 设，，则，由得. 当时，单调递增；当时，单调递减. ∴当时，四棱锥体积取最大值为.…………………………14分

查看本题答案和解析