题目

（本小题满分14分）设函数 （Ⅰ）当时，求的最大值； （Ⅱ）令，（），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）当，，方程有唯一实数解，求正数的值． 答案：解：（Ⅰ）依题意，知的定义域为（0，+∞）， 当时，， （2′）令=0， 解得．（∵） 因为有唯一解，所以，当时， ，此时单调递增； 当时，，此时单调递减。 所以的极大值为，此即为最大值        ………5分 （Ⅱ），，则有≤，在上恒成立， 所以≥，              当时，取得最大值，所以≥…            ……9分 （Ⅲ）因为方程有唯一实数解， 所以有唯一实数解， 设， 则．令，．   因为，，所以（舍去），， 当时，，在（0，）上单调递减， 当时，，在（，+∞）单调递增 当时，=0，取最小值． 则既 所以，因为，所以（*） 设函数，因为当时， 是增函数，所以至多有一解． 因为，所以方程（*）的解为，即 ，解得．…14分

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