题目

已知数列{an}是公差d≠0的等差数列，且a5=6． （1）求{an}的前9项的和S9； （2）若a3=3，问在数列{an}中是否存在一项am（m是正整数），使得a3，a5，am成等比数列，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由； （3）若存在自然数n1，n2，n3，…，nt（t是正整数），满足5＜n1＜n2＜n3＜…＜nt，使得a3，a5，an1， an2…，ant成等比数列，求所有整数a3的值．   答案：【考点】等差数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用等差数列的前n项和公式及其性质即可得出． （2）由a3=3，且a5=6．可得，可得an=．假设存在一项am（m是正整数），使得a3，a5，am成等比数列，可得=a3•am，解出即可得出． （3）由题意可得：=a3，n1＞5．公差d==．可得62=a3[a5+（n1﹣5）d]，化为：（n1﹣17）（a3﹣6）=0，解出分类讨论即可得出． 【解答】解：（1）S9==9a5=9×6=54． （2）由a3=3，且a5=6．可得，解得a1=0，d=，可得an=． 假设存在一项am（m是正整数），使得a3，a5，am成等比数列， 则=a3•am， ∴62=3×，解得m=9． ∴存在一项a9，使得a3，a5，a9成等比数列． （3）由题意可得：=a3，n1＞5． 公差d==． ∴62=a3[a5+（n1﹣5）d]=a3， 化为：（n1﹣17）（a3﹣6）=0， 解得a3=6，或n1=17． ∴当a3=6时，=6（n1＞5），满足题意． 当n1=17时．化为﹣7a3+6=0，即（a3﹣6）（a3﹣1）=0， 解得a3=6，或1． 综上可得：a3=6，或1． 【点评】本题考查了等差数列等比数列的通项公式、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．  

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