题目

已知函数f（x）=x（x+a）-lnx，其中a为常数． （1）当a=-1时，求f（x）的极值； （2）若f（x）是区间内的单调函数，求实数a的取值范围； （3）过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f（x）相切？请说明理由． 答案：解：（1）当a=-1时，， 所以f（x）在区间 内单调递减，在内单调递增．于是f（x）有极小值，无极大值．------------4分 （2）易知在区间内单调递增，所以由题意可得在内无解，即或，解得实数a的取值范围是．------8分 （3）设切点，则切线方程为． 因为过原点，所以，化简得（※）． 设，则，所以在区间内单调递增．又，故方程（※）有唯一实根，从而满足条件的切线只有一条．-----------12分

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