题目

（本题满分12分）设椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为，左焦点到左准线的距离为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设椭圆C上有不同两点P、Q，且OP⊥OQ，过P、Q的直线为l，求点O到直线l的距离． 答案：解  （1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0）， 则 ，． 由 ，即 ，得 ． 于是 a2 = b2 + c2 = 21 + 7 = 28，椭圆C的方程为．………………… 5分 （2）若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴时，不妨设l与x正半轴交于点M，将x = y代入中，得，则点P（，），Q（，），于是点O到l的距离为．                                                        …………………… 7分 若直线l的斜率存在，设l的方程为y = kx + m（k，m∈R），则点P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐标是方程组的两个实数解， 消去y，整理，得（3 + 4k2）x2 + 8kmx + 4m2－84 = 0， ∴ △ =（8km）2－4（3 + 4k2）（4m2－84）= 12（28k2－m2 + 21）＞0，     ① ，．                                                               ② …………………… 9分 ∵ OP⊥OQ，∴ kOP · kOQ =－1，即 ，x1x2 + y1y2 = 0． 于是 x1x2 +（kx1 + m）（kx2 + m）=（1 + k2）x1x2 + km（x1 + x­2）+ m2 = 0．  ③ 将 x1 + x2，x1x2 代入上式，得 ， ∴（k2 + 1）（4m2－84）－8k2m2 + m2（4k2 + 3）= 0， 化简，得 m2 = 12（k2 + 1）．                                         ④ ④代入①满足，因此原点O到直线l的距离 ． …………………… 12分

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